Cierre: lunes, 23 de enero de 2023, 23:55

Mis primeros cálculos simbólicos con la vista CAS

OBJETIVO: Con esta actividad aprenderás a plantear ecuaciones cuadráticas a partir de razones dobles y a hallar su solución con el apoyo del software GeoGebra.

DESCRIPCIÓN:

Esta actividad es individual.

I. Abre GeoGebra desde tu PC y realiza lo siguiente:

Abre el archivo GeoGebra que entregaste en la práctica PV06 y guárdalo con un nuevo nombre.

Desde la barra de herramientas de GeoGebra, abre el menú Vista y elige la opción Cálculo Simbólico (CAS). Se trata de una calculadora capaz de efectuar tanto cálculos numéricos como simbólicos. Ingresa, celda por celda, los siguientes comandos:

α_1:y(A)-y(C)
α_2:y(B)-y(D)
β_1:x(A)*y(C)-y(A)*x(C)
β_2:x(B)*y(D)-y(B)*x(D)
γ_1:y(A)-y(D)
γ_2:y(B)-y(C)
δ_1:x(A)*y(D)-y(A)*x(D)
δ_2:x(B)*y(C)-y(B)*x(C)
p_1:(α_1*α_2*x^2+(α_1*β_2+α_2*β_1)*x+β_1*β_2)
p_2:(γ_1*γ_2*x^2+(γ_1*δ_2+γ_2*δ_1)*x+δ_1*δ_2)
p_1/p_2=r1

Cada comando debe arrojarte un resultado. Nota que en el CAS se emplean los dos puntos ":" cuando se desea definir una variable (por ejemplo, en el primer comando se asigna \(a_{2}-c_{2}\) a la variable α_1, siendo \(A=\left(a_{1},a_{2}\right)\) y \(C=\left(c_{1},c_{2}\right)\). En cambio, se emplea "=" cuando se desea definir una ecuación, como en p_1/p_2=r1.

En la última celda, haz clic sobre p_1/p_2=r1. Enseguida oprime el ícono . Obtendrás las soluciones de dicha ecuación. Por último, oprime el círculo a la izquierda de la celda del resultado, para poder ver en la vista gráfica su representación. Ahora, gracias a la razón doble, tienes cinco puntos para construir una cónica (lo cual harás más delante, en la práctica PV08).
Guarda los cambios en el archivo y súbelo a un cuarto capítulo en tu libro GeoGebra. En la hoja correspondiente, deberás agregar la demostración de la estrategia que acabas de implementar en GeoGebra*:

Sea \(F\) el punto con coordenadas \((x,0)\) y los vectores

\(\overrightarrow{FA}=\vec{a}=\left(a_1-x,a_2-0\right)\),

\(\overrightarrow{FB}=\vec{b}=\left(b_1-x,b_2-0\right)\),
\(\overrightarrow{FC}=\vec{c}=\left(c_1-x,c_2-0\right)\),

\(\overrightarrow{FD}=\vec{d}=\left(d_1-x,d_2-0\right)\).

La razón doble está dada por \[r(A,B,C,D)=r_1=\frac{\text{sen }\theta_1}{\text{sen }\theta_2}\frac{\text{sen }\theta_3}{\text{sen }\theta_4},\] siendo \(\theta_1\), el ángulo entre \(\vec{a}\) y \(\vec{c}\); \(\theta_2\), el ángulo entre \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\); \(\theta_3\), el ángulo entre \(\vec{b}\) y \(\vec{d}\); y \(\theta_4\), el ángulo entre \(\vec{a}\) y \(\vec{d}\).

Prueba que

\[\displaystyle r_{1}=\frac{\alpha_1\alpha_2 x^2+\left(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1\right)x+\beta_1\beta_2}{\gamma_1\gamma_2 x^2+\left(\gamma_1\delta_2+\gamma_2\delta_1\right)x+\delta_1\delta_2}\]

donde

\(\alpha_1=a_2-c_2\),

\(\alpha_2=b_2-d_2\),

\(\beta_1=a_1c_2-a_2c_1\),

\(\beta_2=b_1d_2-b_2d_1\),

\(\gamma_1=a_2-d_2\),

\(\gamma_2=b_2-c_2\),

\(\delta_1=a_1d_2-a_2d_1\),

\(\delta_2=b_1c_2-b_2c_1\).

Tip: Apóyate en la definición del seno del ángulo \(\theta\) entre dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\):

\[\text{sen }{\theta}=\frac{\vec{a}^{\bot}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}\].

II. Guarda los cambios hechos a tu libro. Haz clic aquí para ver un ejemplo de cómo debería quedar este capítulo en tu libro Geogebra.

III. Cuando tu libro esté listo, desde esta actividad, haz clic en el botón Agregar entrega y escribe "¡Listo!" en el editor de texto. Después, oprime el botón Guardar cambios para que el sistema registre la entrega de esta actividad.

IV. No olvides revisar los videos y las escenas GeoGebra colocados en la sección de recursos del tema para poder concretar satisfactoriamente esta actividad.

* Nota: Este es un ejercicio que podría dejarse al estudiante al llevar esta actividad al aula. Para efectos de este curso DGAPA, puedes omitir este punto de la presente práctica virtual si así lo deseas.

VALOR EN CALIFICACIÓN: 10% de la calificación global del curso.