------------------------------- Enunciado de la pregunta - HTML -------------------------------
Prueba que  \[\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Demostración:

Sea \(P(n)\) la proposición: \[\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Puesto que para \(n=1\), 

\[\text{Lado izquierdo: }1=1\]

y 

\[\text{Lado derecho: }\frac{1(1+1)}{2}=1\]

se sigue que \(P(1)\) es verdadero.

Paso 1: Caso base \(n=1\). Sustituimos \(n=1\) en ambos lados y verificamos que se cumple la proposición.

Asumamos que \(P(n)\) es verdadero:

\[1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Paso 2: Hipótesis de inducción. Asumimos que la fórmula es verdadera para \(n\) (supuesto inductivo).

(a) Partimos del supuesto inductivo

Queremos probar que \[\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}.\]

La suma de los primeros \(n+1\) términos (lado izquierdo) se puede escribir como: \[(1+2+3+\ldots+n)+(n+1).\]

Sustituyendo la hipótesis inductiva \(1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},\) tenemos en el lado izquierdo: \[\frac{n(n+1)}{2}+(n+1).\]

(b) Simplificamos la expresión:

Sumamos los términos con denominador común:

\[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}.\]

Factorizamos \(n+1\):

\[\frac{(n+1)(n+2)}{2}.\]

(c) Comprobamos:

La expresión final es igual al lado derecho de la fórmula para \(n+1\), es decir:

\[\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}.\]

Paso 3: Paso inductivo. Ahora, verificamos que se cumpla para \((n+1)\).

Puesto que \(P(1)\) y \(P(n)\) \(\Rightarrow\)\(P(n+1)\), hemos probado que \(P(n)\) es verdadera para toda \(n\in\mathbb{N}\) por el principio de inducción matemática.